高等数学1.5极限运算法则

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第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则

? 一、极限运算法则 ? 二、求极限方法举例

1、无穷小的运算性质: 极限为零的函数称为无穷小. 定理1. 在同一过程中, 有限个无穷小 的代数和 仍是无穷小. 证: 设 ?、 ? 是 x ? ? 时的无穷小 要证: ??

? 0, ?X 1 ? 0,

?

2

X 2 ? 0, 使得

当 x ? X1 时 有 ? ? ; 当 x ? X 2 时 有 ? ?

?

2

;

取 X ? max{ X 1 , X 2 }, 当 x ? X 时有

??? ? ? ? ?

? 2 ? 2? ? .

? ?

1、无穷小的运算性质:

定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

1 2 n 例如 lim( 2 ? 2 ? ? ? 2 ). n? ? n n n

是无限多个无穷小之和 其结果不是无穷小 n ? ? 时, 定理2 有界函数 与无穷小 的乘积 是无穷小.

1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 证 设 有界函数 与无穷小 的乘积是无穷小.

0

u 在 U ( x0 , ? 1 ) 内 有界, ?M ? 0, 当 0 ? x ? x0 ? ? 1 时, 有 u ? M .

又设 ? 是当 x ? x0 时的无穷小

??? ? 0, ?? 2 ? 0, 使得当 0 ? x ? x0 ? ? 2 时

有? ?

取 ? ? min{? 1 , ? 2 }, 当 0 ? x ? x0 ? ? 2 时有 M

?

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设

u 在 U ( x0 , ? 1 ) 内 有界, ?M ? 0, 当 0 ? x ? x0 ? ? 1 时, 有 u ? M .

又设 ? 是当 x ? x0 时的无穷小

0

??? ? 0, ?? 2 ? 0, 使得当 0 ? x ? x0 ? ? 2 时

有? ?

u ??

取 ? ? min{? 1 , ? 2 }, 当 0 ? x ? x0 ? ? 2 时有 M ? ? u?? ? M? ? ?, M

?

当 x ? x0 时

u ??

是无穷小.

1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

例如 ,当x ? 0时,

1 x sin , x

1 x arctan x

2

都是无穷小

推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积 也是无穷小.

§5. 极限运算法则

极限运算法则 定理3

设 lim f ( x ) ? A, lim g ( x ) ? B , 则

(1) lim[ f ( x ) ? g( x )] ? A ? B;

( 2) lim[ f ( x ) ? g( x )] ? A ? B;

f ( x) A ( 3) lim ? , 其中 B ? 0. g( x ) B

定理3 设 lim f ( x ) ? A, lim g ( x ) ? B , 则

(1) lim[ f ( x ) ? g( x )] ? A ? B; 分析: 要证 ( f ( x ) ? g ( x )) ? ( A ? B ) ? ? ? 0 ? lim f ( x ) ? A, lim g ( x ) ? B . 证

? f ( x ) ? A ? ? , g ( x ) ? B ? ? . 其中?、? ? 0

??? 由无穷小运算法则,得 ? ? ? ? 0.

定理1 lim f ( x ) ? A ? f ( x ) ? 其中 ? ( x ) 是当 x

x ? x0

[ f ( x ) ? g ( x )] ? ( A ? B ) ?

? (1)成立.

A ? ? ( x ),

? x 0时的无穷小.

1、无穷小的运算性质: 推论1 如果 lim f ( x ) 存在,C为常数,则

lim[cf ( x )] ? c lim f ( x ).

常数因子可以提到极限记号外面. n为正整数,则 推论2 如果 lim f ( x ) 存在,

lim[ f ( x )]n ? [lim f ( x )]n . xn ? A, lim y n ? B ?y n ? , 如果 lim 定理4 设有数列?xn ? 、 n ?? n ??

则有 lim (xn ? y n ) ? A ? B ;lim xn ? y n ? A ? B n ?? n ??

y n ? 0 (n ? 1,2),

xn ? B ? 0 ,lim n ?? y n

A B

1、无穷小的运算性质:

xn ? A, lim y n ? B ?y n ? , 如果 lim 定理4 设有数列?xn ? 、 n ?? n ??

则有 lim (xn ? y n ) ? A ? B ;lim xn ? y n ? A ? B n ?? n ??

y n ? 0 (n ? 1,2),

定理5

xn ? B ? 0 ,lim n ?? y n

A B

? (x) ? ? (x), 而 lim? (x) ? a, lim? (x) ? b,

则有 a ? b

二、求极限方法举例

lim x ? x 0 . lim[ f ( x )]n ? [lim f ( x )]n . 证明 x ?x

x ?1 . 例1 求 lim 2 x?2 x ? 3 x ? 5

3

0

2 2 3 x ? lim 5 ? lim ? lim x ? lim ( x ? 3 x ? 5) 解 x?2 x?2 x?2 x?2

x ? lim 5 ? ? (lim x ) ?3 lim x?2 x?2

2 x?2

2 ?3 ? 2 ?5 ? 3 ? 0,

2

3 x ?1 7 ? 2 1 x?2 x?2 ? . ? lim 2 ? ? 3 x?2 x ? 3 x ? 5 3 lim( x 2 ? 3 x ? 5)

3

lim x 3 ? lim1

x?2

小结: 1. 设 f ( x ) ? a0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? an ,

x ? x0

0 0

证明 lim x ? x 0 .

x ? x0

n n ?1 a ( lim x ) ? a ( lim x ) ? ? ? an lim f ( x ) ? 0 x ? x 1 x? x

? a 0 x 0 ? a1 x 0

n

n ?1

? ? ? a n ? f ( x 0 ).

P( x) , 且Q( x0 ) ? 0, 则有 2. 设 f ( x ) ? Q( x )

x ? x0

lim f ( x ) ? x ? x

lim P ( x )

0

x ? x0

P ( x0 ) ? f ( x 0 ). ? lim Q( x ) Q ( x 0 )

如果 Q( x0 ) ? 0, 商的法则不能用

4x ? 1 . 例2 求 lim 2 x ?1 x ? 2 x ? 3

解 ? lim( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0,

x ?1

商的法则不能用

又 ? lim(4 x ? 1)

x ?1

? 3 ? 0,

x2 ? 2x ? 3 0 ? lim ? ? 0. x ?1 4x ? 1 3

由无穷小与无穷大的关系P41,

4x ? 1 ? ?. lim 2 x ?1 x ? 2 x ? 3

1 ( 2) lim f ( x ) ? 0, 且f ( x ) ? 0 ? lim ? ?. x ? x0 x ? x0 f ( x ) ( x ?? ) ( x ?? )

二、求极限方法举例

x2 ? 1 . 例3 求 lim 2 x ?1 x ? 2 x ? 3

x ? 1 时, 分子分母的极限都是零

x ?1 ( x ? 1)( x ? 1) ? lim lim 2 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ?1 ( x ? 3)( x ? 1)

2

0 ( 型) 0

x?1 ? lim x ?1 x ? 3

1 ? . 2

(消去零因子法)

x ? 1 先后再求极限 先约去不为零的无穷小因子,

二、求极限方法举例

2x3 ? 3x2 ? 5 . 例4 求 lim 3 2 x?? 7 x ? 4 x ? 1

分子分母的极限都是无穷大 解 x ? ? 时, 先用

? ( 型) ?

x

3

再求极限 分出无穷小, 去除分子分母,

3 2? ? 2 x3 ? 3 x2 ? 5 x ? lim 3 lim x ?? 7 x ? 4 x 2 ? 1 x ?? 4 7? ? x

5 3 x ? 2. 1 7 x3

二、求极限方法举例 小结: 当 a0 ? 0, b0 ? 0, m和n 为非负整数时有

n ? m, ? a0 x ? a1 x ? ? ? am ? lim ? ?n ? m, 0 n n ? 1 x ?? b x ? b x ? ? ? bn 0 1 ?n ? m, ? ?

m m ?1

a0 b0

无穷小分出法:

以分母中自变量的最高次幂除分子, 分母,以分出无穷小,然后再求极限.

二、求极限方法举例 例5 解

1 2 n 求 lim( 2 ? 2 ? ? ? 2 ). n ?? n n n

n ? ? 时, 是无限多个无穷小之和

先变形再求极限. 1 2 n lim( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? lim 1 ? 2 ? ? ? n n ?? n n n n ?? n2

1 n( n ? 1) 1 1 1 2 ? lim ( 1 ? ) ? . ? lim n? ? 2 n? ? n 2 n2

二、求极限方法举例

sin x 例6 求 lim . x?? x

y?

sin x x

1 当 ( x ? ? ) 时, 是无穷小 x

sin x 是有界函数

sin x ? lim x ?? x

1 lim x sin( ) x ?0 x

?0

?0

sin x ? 1. lim x ?0 x

二、求极限方法举例

? 1 ? x, 例7 设 f ( x ) ? ? 2 ? x ? 1,

解:x

x?0

x?0 , 求 lim f ( x ). x?0 x?0

两个单侧极限为 ? 0 是函数的分段点,

x?0

lim? f ( x ) ? lim? (1 ? x ) ? 1,

2 ? 1, lim? f ( x ) ? lim ( x ? 1) ? x?0

y y ? 1? x

x?0

左右极限存在且相等,

1

y ? x2 ? 1

故 lim f ( x )

x ?0

? 1.

o

x

x ? x0

定理4(复合函数的极限运算法则) 设 g ( x ) ? u , o lim g ( x ) ? lim u ? a, 且 x ? U ( x0 ) 时, g ( x ) ? 又 lim f ( u) ?

u? a

x ? x0

u ? a,

则有 lim A,

意义: lim

x ? x0

f [ g ( x )]

x ? x0 令 u ? g( x )

f [ g ( x )] ?

lim f ( u ) ? A. u? a

lim f ( u)

x x sin u sin u ? 2 lim 2 lim u? 0 u x ?0 x x ?0 =x0有u ?0 =a 2 分析 ? ? ? 0, ? ? ? 0, 使当 0 ? x ? x ? ? 时, 0

有 f [ g ( x )] ? A

x ? x0有u ?

a

u? a

? ? 成立.

定理4(复合函数的极限运算法则) 设 g ( x ) ? u ,

o

x ? x0

lim u ? a, U ( x0 ) 时 g ( x ) ? u ? a, lim g ( x ) ?x x ? 且 ?x

0

lim f [ g ( x )] ? lim f ( u) ? A, 则有 x 又 lim ?x u? a u? a

0

f (u) ?

A.

f ( u) ? A, 则 ? ? ? 0, ? ? ? 0, 使当 0 ? u ? a ? ? 时 证 ? lim u? a

又 ? lim g ( x ) ? a , ?? ? 0 有 f ( u) ? A ? ? 成立; x? x

0

取?=

?

对于? ? 0, ? ? 1 ? 0, 当 0 ? x ? x0 ? ? 1 时

有 g( x ) ? a ? ?

? ? ? x ? U ( x0 , ? 0)

o

有g( x ) ? a,

有 0 ? g( x ) ? a ? ? 取 ? ? min{? 1 , ? 0 }, 当 0 ? x ? x0 ? ? 时,

定理4(复合函数的极限运算法则) 设 g ( x ) ? u ,

o

x ? x0

lim u ? a, U ( x0 ) 时 g ( x ) ? u ? a, lim g ( x ) ?x x ? 且 ?x

0

lim f [ g ( x )] ? lim f ( u) ? A, 则有 x 又 lim ?x u? a u? a

0

f (u) ?

A.

证 ? lim f ( u) ? A, 则 ? ? ? 0, ? ? ? 0, 使当 0 ? u ? a ? ? 时 u? a

又 ? lim g ( x ) ? a , 对于 ? ? 0, 有 f ( u) ? A ? ? 成立; x? x

0

? ? ? 0, 当 0 ? x ? x0 ? ? 时, 有 0 ? g( x ) ? a ? ?

lim f [ g( x )] ? A ? lim f ( u) f [ g ( x )] ? A ? ? ? x ?x

0

u? a

lim g ( x ) ? lim u ? a, U ( x0 ) 时 g ( x ) ? u ? a, x ? 且 x ? x0 x? x 又 lim f ( u) ? A,则有lim f [ g ( x )] ? lim f ( u ) ? A.

0

定理4(复合函数的极限运算法则) 设 g ( x ) ? u ,

o

u? a

x ? x0

u? a

提示:1、lim g ( x ) ?

x ? ?

x sin 2. 例8 求 lim x ?0 x x 2

lim g ( x ) ? a a 可为 ? a 2、 x? x

0

sin

lim

x ?0

x 2

2

sin x ? lim ? 1. x ?0 x x 令u ? sin u 2 lim ? 1 u? 0 u x ?0 u ?0

lim g ( x ) ? lim u ? a, U ( x0 ) 时 g ( x ) ? u ? a, x ? 且 x ? x0 x? x 则有lim f [ g ( x )] ? lim f ( u ) ? A. 又 lim f ( u) ? A,

0

定理4(复合函数的极限运算法则) 设 g ( x ) ? u ,

o

u? a

x ? x0

u? a

lim g ( x ) ? 提示:1、x ? ?

例9 解

a 2、lim g ( x ) ? a a 可为 ? x? x

0

1 求 lim x sin x ?? x

1 ? x

x ? ?

u

sin u lim ? u ? 0 u? 0 u

?1

1 lim x sin ? 1 x ?? x

lim g ( x ) ? lim u ? a, U ( x0 ) 时 g ( x ) ? u ? a, x ? 且 x ? x0 x? x 则有 lim f [ g ( x )] ? lim f ( u ) ? A. 又 lim f ( u) ? A,

0

定理4(复合函数的极限运算法则) 设 g ( x ) ? u ,

o

u? a

x ? x0

u? a

y

x ? ?

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 -0.4 5 10 15 y

1 lim x sin ? 1 x ?? x

lim g ( x ) ? lim u ? a, U ( x0 ) 时 g ( x ) ? u ? a, x ? 且 x ? x0 x? x 则有 lim f [ g ( x )] ? lim f ( u ) ? A. 又 lim f ( u) ? A, u? a x ? x0 u? a 1 lim x sin ? 1 x ?? x 1 y 1 y y ? x sin y ? x sin 1.2 x 1.2 x 1 1

0

定理4(复合函数的极限运算法则) 设 g ( x ) ? u ,

o

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.000 0.001 0.01 1 0.1 -0.2 1 -0.4 10

0.8 0.6

y 0.4

0.2 0 -0.2 0 -0.4 5 10 15

y

小结

1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法;

a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.

3、复合函数的极限运算法则

思考题

在某个过程中,若 f ( x ) 有极限,g ( x ) 无极限,那么 f ( x ) ? g ( x ) 是否有极限?为 什么?

思考题

在某个过程中,若 f ( x )有极限,g ( x ) 无极限,那么 f ( x ) ? g ( x )是否有极限?为 什么?

思考题解答 没有极限. 假设 f ( x ) ? g ( x ) 有极限,? f ( x ) 有极限, 由极限运算法则可知:

g( x ) ?? f ( x ) ? g ( x )? ? f ( x ) 必有极限,

与已知矛盾,故假设错误.

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