2.1合情推理与演绎推理

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定义

特征

归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特 征,推出该类事物的全部对象都具有 这些特征的推理,或者由个别事实概 括出一般结论的推理,称为归纳推理 (简称归纳 ) 归纳推理是由部分到整体,由个别到 一般的推理 .

类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,称为 类比推理 (简称类比 ) 类比推理是由特殊到特殊的推理 .

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2.合情推理 (1)含义: 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 过 观察 、 分析 、 比较 、 联想 , 再进行 归纳 、类比 ,然后提出 猜想 的推理,我们把它 们统称为合情推理. (2)合情推理的过程: 观察、分析 提出 从具体问题出发 归纳、类比 比较、联想 猜想

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1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 提示:归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其结论不一 定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正 在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性, 不一定可靠.

2.鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的 腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因 此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.你 认为该过程为归纳推理还是类比推理? 提示:类比推理.

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2 2+1 2 2+2 2 2+3 3. < , < , < ,… 3 3+1 3 3+2 3 3+3 2 2+m 由此猜想: < (m 为正实数).上述推理是 3 3+m 归纳推理还是类比推理?

提示:归纳推理.

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创新方案系列丛书 考点一 数列中的归纳推理 例 1 :已知数列 {an} 的第一项 a1 = 1,且 an+ 1 = an (n=1,2,3,…). 1+2an (1)求 a2,a3,a4,a5;(2)归纳猜想这个数列的通项 公式.

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[自主解答] (1)当 n=1 时,a1=1, an 由 an+1= ( n ∈N * ) , 1+2an 1 得 a2= , 3 a2 1 a3 1 a3= = ,a4= = ,a5= 1+2a2 5 1+2a3 7 a4 1 = . 1+2a4 9 1 1 1 1 (2)由 a1=1= ,a2= ,a3= ,a4= , 1 3 5 7 1 a5= , 9 1 可归纳猜想 an= (n∈N*). 高中同步新课标·数学 2n-1

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an 把“an+1= ”改为“an+1=2an+1(n∈N*)”, 其他条 1+2an 件不变,如何求解?

解:(1)由已知 a1=1,an+1=2an+1 得 a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7, a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31. 1 2 (2)由 a1=1=2 -1, a2=3=2 -1, a3=7 3 =2 -1, a4=15=24-1,a5=31=25-1, 归纳猜想 an=2n-1(n∈N*).

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解决此类问题的关键是根据第n项与序号n的关系,归纳数 列的一个通项公式.需要注意的是:在归纳推理中,根据同一 个前提,可能归纳出不同的结论.

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2 1 1. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=- , 且 Sn+ + 3 Sn 2 = an(n≥2) .计 算 S1 , S2 , S3 , S4 , 猜想 Sn 的表达式 为 ____________________.

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2 1 解析:S1=a1=- ,n≥2 时,an=Sn-Sn-1,∴Sn+ +2=Sn- 3 Sn Sn-1 -1 -1 -1 1 3 ∴ =-Sn-1-2,∴Sn= ,∴S2= = =- , 2 4 Sn Sn-1+2 S1+2 - +2 3 -1 -1 4 S 3= = =- , 3 5 S2+2 - +2 4 -1 -1 5 S 4= = =- , 4 6 S3+2 - +2 5 n+ 1 猜想 Sn=- . n+ 2 n+1 答案:Sn=- (n∈N*) n+2

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考点二

几何中的归纳推理

如图所示,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线

段,彼此最多分割成4条线段,将圆最多分割成4部分;画三条

线段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多分割成7部分;画四 条线段,彼此最多分割成16条线段,将圆最多分割成11部分.

猜想:在圆内画n(n≥2)条线段,彼此最多分割成多少条线段? 将圆最多分割成多少部分?

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[自主解答] 设圆内两两相交的 n 条线段,彼此最多分割成的线 段为 f(n)条,将圆最多分割为 g(n)部分. (1)f(1)=1=12, g(1)=2; f(2)=4=22, g(2)=4=2+2; f(3)=9=32, g(3)=7=2+2+3; f(4)=16=42, g(4)=11=2+2+3+4; 猜想:f(n)=n2 ?1+n?n n2+n+2 g(n)=2+2+3+4+?+n=1+ = . 2 2 即圆内两两相交的 n(n≥2)条线段,彼此最多分割为 n2 条线段, n2+n+2 将圆最多分割为 部分. 2 高中同步新课标·数学

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归纳推理在几何中应用的关键 在几何中随点、线、面等元素的增加,探究相应的线段、交点、

区域部分等的增加情况常用归纳推理解决,寻找递推关系是解决

该类问题的关键.

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2.设平面内有n条直线(n≥2),其中任意两条直线都不平行,任

意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则 当n≥2时,f(n)=__________.(用含n的数学表达式表示)

解析:f(2)=1, f(3)= 1+2, f(4)=1 +2+ 3, f(5)= 1 +2+3+4, n?n-1? 猜想当 n≥2 时,f(n)=1+2+?+(n-1)= . 2 1 答案: n(n-1) 2

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考点三

类比推理

例 3:三角形与四面体有下列共同的性质: (1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形; 四面体 是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形. (2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的 各点连线所形成的图形;四面体可以看做三角形外一点与这个三角 形上各点连线所形成的图形.

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通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写 下表:

四面体 四面体任意三个面的面积之和 三角形两边之和大于第三边 大于第四个面的面积 四面体的中截面的面积等于第 三角形的中位线等于第三边的 1 四个面面积的 ,且平行于第四 4 一半并且平行于第三边 个面 三角形的三条内角平分线交于 四面体的六个二面角的平分面 一点, 且这个点是三角形内切圆 交于一点, 且这个点是四面体的 的圆心 内切球的球心 1 四面体的体积为 V= (S1+S2+ 3 1 三角形的面积为 S= (a+b+ S +S )r,S 、S 、S 、S 为四 2 3 4 1 2 3 4 c)r(r 为三角形内切圆的半径) 面体四个面的面积,r 为内切球 的半径

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三角形

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[自主解答] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三 角形的边对应四面体的面,即平面的线类比空间的面;三角形的中 位线对应四面体的中截面,三角形的内角对应四面体的二面角,三 角形的内切圆对应四面体的内切球.具体见下表:

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解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方 面入手,将平面几何的相关结论类比到立体几何,相关类比点 如下: 平面图 直 边 面 三角 线线 点 形 线 长 积 形 角 空间图 直 平 面 体 四面 面面 形 线 面 积 积 体 角

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3.在 Rt△ABC 中,若∠C=90° ,则 cos2A+cos2B=1, 在立体几何中,给出四面体性质的猜想.

解:如图,在 Rt△ABC 中,

2 2 a + b a b cos2A+cos2B=( )2+( )2= 2 =1. c c c 把结论类比到四面体 P-ABC 中,我们猜想,在三棱锥 P -ABC 中,若三个侧面 PAB,PBC,PCA 两两互相垂直,且与 底面所成的二面角分别为 α,β,γ,则 cos2α+cos2β+cos2γ=1.

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如图所示,

在△ABC 中,射影定理可表示为 a=b· cos C+c· cos B,其 中 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,类比上述定理,写出 对四面体性质的猜想.

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[错解]

如图所示,在四面体 P-ABC 中,S1,S2,

S3,S 分别为△PAB,△PBC,△PCA,△ABC 的面积,α, β,γ,分别为 PA,PB,PC 与底面 ABC 所成的角,猜想,在 四面体 P-ABC 中,S= S1· cos α+S2· cos β+S3· cos γ.

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[错因] 平面几何中的角是由两条射线组成,在立体几 何中,与之类比的是由两个平面组成的角,即二面角.因此, 错解中类比对象不正确.

[正解] 如图所示(同错解图)在四面体 P-ABC 中,S1, S2,S3,S 分别为△PAB,△PBC,△PAC,△ABC 的面积,α, β,γ 分别为侧面 PAB,面 PBC,面 PAC 与底面 ABC 所成二 面角的大小,猜想:在四面体 P-ABC 中,S=S1cos α+S2cos β+S3cos γ.

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1.我们把 1,4,9,16,25,…这些数称做正方形数,这是因为个数等 于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图).

则第 n 个正方形数是( ) A.n(n-1) B.n(n+1) C.n2 D.(n+1)2

解析:观察前 5 个正方形数,恰好是序号的平方,所以 第 n 个正方形数应为 n2. 答案:C

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2.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前 4 项,则这个数列的一个通项公式为( )

A.an=3n-1 C.an=3n-2n

B.an=3n D.an=3n-1+2n-3

解析:∵a1=1,a2=3,a3=9,a4=27, 猜想 an=3n-1. 答案:A

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3.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积 底× 高 公式 S= ,可知扇形面积公式为( ) 2 r2 l2 A. B. 2 2 lr C. D.无法确定 2

解析:扇形的弧长对应三角形的底,扇形的半径对应三 lr 角形的高,因此可得扇形面积公式 S= . 2 答案:C

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4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的 面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的 比为1∶2,则它们的体积比为________. 解析:由平面和空间的知识,可知面积之比与边长之比成 平方关系,在空间中体积之比与棱长之比成立方关系,故若 两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8. 答案:1∶8

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5.(陕西高考)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为________. 解析:每行最左侧数分别为1、2、3、…,所以第n行最左侧的数 应为n;每行的个数分别为1、3、5、…,所以第n行的个数应为2n -1.所以第5行的数依次是5、6、7、…、13,其和为5+6+7+… +13=81. 答案:5+6+7+…+13=81

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1 3× 2 3 3a1 解:(1)a2= = = , 1 7 a1+3 +3 2 3a2 3 3 3 同理 a3= = ,a4= ,a5= . 9 10 a2+3 8 3 3 3 3 (2)由 a2= ,a3= ,a4= ,a5= , 2+5 3 +5 4+5 5+5 3 可猜想 an= . n+5

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创新方案系列丛书 1 3an 6. 已知在数列{an}中, a1= , an+1= 2 an+3 (1)求 a2,a3,a4,a5 的值;(2)猜想 an.

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2.1.2

演绎推理

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1.演绎推理 含 从 一 般 性 的 原 理 出 发 , 推 出 义 某个特殊情况下的结论的推理 特 由 一般 到 特殊 的推理 点

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2.三段论 一般模式 大前 提 小前 提 结论

已知的一般原理

常用格 式 M是P S是M S是P

所研究的特殊情况 根据一般原理对特殊情况作出的判断

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1.演绎推理的结论一定正确吗?

提示:演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在 演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论一定正确.

1 2. 因为对数函数 y=logax(a>0,a≠1)是增函数而 y= log x 是对数 3 函数, 1 所以 y=log x 是增函数. 3 上面的推理形式和结论正确吗?

提示:推理形式正确,结论不正确,因为大前提是 错误的.

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创新方案系列丛书 考点一 三段论的形式

例 1:将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形, 所以菱形的对角线互相平分. (2)等腰三角形的两底角相等,∠A、∠B 是等腰三角形 的两底角,则∠A=∠B. (3)通项公式为 an=2n+3 的数列{an}是等差数列. (4)Rt△ABC 的内角和为 180° .

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[自主解答] (1)平行四边形的对角线互相平分,大前提 菱形是平行四边形,小前提 菱形的对角线互相平分.结论 (2)等腰三角形两底角相等,大前提 ∠A、∠B 是等腰三角形的两底角,小前提 ∠A=∠B.结论 (3)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数,则{an}为 等差数列,大前提 因为 an=2n+3,则当 n≥2 时, an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),小前提 通项公式为 an=2n+3 的数列是等差数列.结论 (4)因为三角形的内角和是 180° ,大前提 Rt△ABC 是三角形,小前提 所以 Rt△ABC 的内角和是 180° .结论

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三段论由大前提、小前提和结论组成;大前提提供一 般原理,小前提提供特殊情况,两者结合起来,体现一般

原理与特殊情况的内在联系,在用三段论写推理过程时,

关键是明确命题的大、小前提.

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1.用三段论的形式写出下列演绎推理.

(1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角 线相互垂直. (2)0.332是有理数.

解:(1)菱形的对角线相互垂直大前提 正方形是菱形小前提 所以,正方形的对角线相互垂直结论 (2)所有有限小数都是有理数大前提 0.332是有限小数小前提 所以,0.332是有理数结论

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考点二

三段论在几何证明中的应用

例2:如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上 的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED =AF,写出三段论形式的演绎推理. [自主解答] 因为同位角相等,两条直线平行,大前提 ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,小前提 所以FD∥AE.结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提 DE∥BA,且FD∥AE,小前提 所以四边形AFDE为平行四边形.结论 因为平行四边形的对边相等,大前提 ED和AF为平行四边形AFDE的对边,小前提 所以ED=AF.结论 高中同步新课标·数学

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应用三段论解决问题时,首先要明确什么是大前提和小前 提.如果大前提是显然的,则可以省略.有时,对于复杂

的论证,总是采用一连串的三段论,把前一个三段论的结论作

为下一个三段论的前提.

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2.如图所示, 在空间四边形 ABCD 中, 点 E, F 分别是 AB, AD 的中点, 求证 EF∥平面 BCD.

证明:三角形的中位线平行于底边,大前提 点 E、F 分别是 AB、AD 的中点,小前提 所以 EF∥BD.结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则此直线与 此平面平行,大前提 EF?平面 BCD,BD?平面 BCD,EF∥BD,小前提 EF∥平面 BCD.结论

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创新方案系列丛书 考点三 演绎推理在代数中的应用 2x-1 例 3:求证:函数 y= x 是奇函数,且在定义域 2 +1

上是增函数.

[自主解答] 对定义域内的任意 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 f(x) 是奇函数,大前提 因为 f(x)的定义域为 R, 2-x-1 1-2x 2x-1 且 f(-x)= -x = =- x =-f(x),小前提 2 +1 1+2x 2 +1 所以 f(x)是奇函数.结论 对于?x1,x2∈I,若当 x1<x2,有 f(x1)<f(x2), 则 y=f(x)在 I 上是增函数,大前提 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 2x1-1 2x2-1 2x1-2x2 则 f(x1)-f(x2)= - =2· . 2x1+1 2x2+1 ?2x2+ 1 ?? 2 x + 1 ? 1 高中同步新课标·数学

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因为 x1<x2,所以 2x1<2x2,2x1-2x2<0, 所以 f(x1)<f(x2).小前提 故函数 f(x)在 R 上是增函数.结论

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应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件( 大、小前提),根据需要引入相关的定理和性质(大前提),并保 证每一步的推理都是正确的,严密的,才能得出正确的结论. .

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3.已知 lg 2=m,计算 lg 0.8.

解:因为 lg an=nlg a(a>0),大前提 lg 8=lg 23,小前提 所以 lg 8=3lg 2=3m.结论 a 因为 lg =lg a-lg b(a>0,b>0),大 b 前提 8 lg 0.8=lg ,小前提 10 所以 lg 0.8=lg 8-1=3lg 2-1= 3m-1.结论

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如图,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高, 求证:∠ACD>∠BCD.

[错解] 在△ABC 中, 因为 CD⊥AB, AC>BC, 所以 AD>BD, 所以∠ACD>∠BCD.

[错因] 错误的原因在于虽然运用的大前提正确,即在同一个 三角形内,大边对大角,但是AD与BD并不是同一个三角形的 两条边,即小前提不成立,所以推理过程错误.

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[正解] 因为CD垂直AB, 所以∠ADC=∠BDC=90°. 所以∠A+∠ACD=∠B+∠BCD.

在△ABC中,因为AC>BC,

所以∠B>∠A, 所以∠BCD-∠ACD<0, 所以∠ACD>∠BCD.

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1.演绎推理中的“一般性原理”包括(

)

①已有的事实;②定义、定理、公理等;③个人积累的经验. A.①② C.②③ B .①③ D.①②③

解析:演绎推理中的“一般性原理”包括“已 有的事实”、“定义、 定理、公理等”. 答案:A

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2.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条 平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三 1 班有 55 人,2 班有 54 人,3 班有 52 人,由 此得高三所有班人数超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),通过计算 2 an-1 a2,a3,a4 猜想出 an 的通项公式

解析: A 是演绎推理, B、 D 是归纳推理, C 是类比推理. 答案:A

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3.用三段论证明命题:“任何实数的平方大于 0,因 为 a 是实数,所以 a2>0”, 你认为这个推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的

解析:这个三段论推理的大前提是 “任何实数的平方大于 0”,小前提是“a 是实数”,结论是“a2>0”.显然结论错误,原 因是大前提错误. 答案:A

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4.函数 y=2x+ 5 的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前题 __________________________________________________________ ; 小前题 __________________________________________________________; 结论__________________________________ ______________________ .

答案:一次函数的图象是一条直线 函数 y=2x+5 是一次函数 函数 y=2x+5 的图象是一条直线

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5.如图所示, 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB=CD,BC=AD. 又 因 为 △ABC 和 △CDA 的 三 边 对 应 相 等 , 所 以 △ABC≌△CDA. 上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________.

答案:大前提 大前提

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6.用三段论的形式写出下列演绎推理: (1)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正 方形的对角线相等; (2)y=cos x(x∈R)是周期函数.

解:(1)因为矩形的对角线相等,大前 提 而正方形是矩形,小前提 所以正方形的对角线相等.结论 (2)因为三角函数是周期函数,大前提 而 y=cos x(x∈R)是三角函数, 小前提 所以 y=cos x(x∈R)是周期函数. 结论

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