数学:2.1.2《演绎推理》素材(新人教A版选修2-2)数学

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剖析演绎推理证明的几种常见错误

1.\t偷换论题

例1求证四边形的内角和等于

证明:设四边形是矩形,则它的四个角都是直角,有

所以,四边形的内角和等于

剖析:上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中,把论题中的四边形改为矩形。

2.\t虚假论据

例2已知是无理数,试证也是无理数。

证明:依题设是无理数,

而无理数与无理数的和是无理数,

所以也是无理数。

剖析:上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是:“无理数与无理数的和是无理数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数。因此,原题的真假性仍无法断定。

3.\t循环论证

例3在中,求证:

证明:因为

=

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剖析:上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“”这个公式,按照现行中学教材系统,这个公式是由勾股定理推出来的,这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据,犯了循环论证的错误。

4.\t不能推出

例4设

求证:

证明:因为

=

剖析:上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为只能推出。至于关系式是否唯一地成立,却无法断定。因此,只有进一步推出,即,原题才能得证。

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演绎推理的三种类型

“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质;其实,我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论。显然,只要一般性原理正确,推理形式不出错误,那么由此产生的结论一定正确;这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程;具体到一个数学问题,我们使用演绎推理时,常常表现为下述三种情况,这里向你介绍,也许对你深入理解演绎推理会有所帮助。

1、显性三段论

在证明过程中,可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”;结合演绎推理我们可以知道结果是正确的。也是演绎推理最为简单的应用。

例1、当为正数时,求证:

证明:因为一个实数的平方是非负数

是一个实数的平方,

所以是非负数,即

所以,

评析:在这个问题的证明中,三段论是很显然的;大前提:“一个实数的平方是非负数”,小前提:“是一个实数的平方”,结论:“是非负数”,从而产生最后结果;由于大前提是人所共知的真理,推理形式正确,因而,结论正确。

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2、隐性三段论

三段论在证明或推理过程中,不一定都是清晰的;特别是大前提,有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义,对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用,不需要再重新指出;因此,就会出现隐性三段论。

例2、判断函数的奇偶性

解:由于

故函数为奇函数

评析:在这个推理过程中,好似未用到演绎推理的三段论,其实不然,用了;只是大前提“若函数是奇函数,则;若函数是偶函数,则

”是大家熟悉的定义,在推理过程中省略了。这是演绎推理三段论的又一表现形式。

3、复式三段论

一个复杂问题的证明或推理,往往不是一次三段论就可以解决的,在证或推的过程中要多次使用三段论,从一个熟悉的大前提出发,产生一个结论;而这个结论又是下一步的大前提,依次递推下去,最终产生结论,这就是所谓的复式三段论。可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程,基本上都是复式三段论。

例3、若数列的前项和为,求证:数列为等差数列。

证明:由

因此

故数列为等差数列

评析:本题的论证共有三层,即三次使用演绎推理,请看

第一层,大前提“若是数列的前项和,则”;小前提“数列的前项和为, 则”;结论“”;

第二层,大前提“对于非零数列,则有”;小前提“满足的数列”;结论“”;

第三层,大前提“对于数列,若常数,则是等差数列”;小前提“由,得为常数”;结论“数列为等差数列”;在这三层中,层层深入,步步逼近,慢慢的向我们要论证的结论靠拢,这是一种很重要且很实用的分析思维过程。

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剖析演绎推理证明的几种常见错误

1. 偷换论题 例 1 求证四边形的内角和等于 360 。 证明:设四边形 ABCD 是矩形,则它的四个角都是直角,有

0

?A ? ?B ? ?C ? ?D ? 900 ? 900 ? 900 ? 900 ? 3600 ,

所以,四边形的内角和等于 360 。 剖析:上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中,把论题中的四边 形改为矩形。 2. 虚假论据 例 2 已知 2 和 3 是无理数,试证 2 ? 3 也是无理数。 证明:依题设 2 和 3 是无理数, 而无理数与无理数的和是无理数, 所以 2 ? 3 也是无理数。 剖析:上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是: “无理数与无理 数的和是无理数” ,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数。因此,原题的 真假性仍无法断定。 3. 循环论证 例 3 在 Rt?ABC 中, ?C ? 90 求证: a ? b ? c 。

0 2 2 2 0

证明:因为 a ? c sin A, b ? c cos A ,

? a 2 ? b 2 ? c 2 sin 2 A ? c 2 cos2 A

= c (sin A ? cos A) ? c 。

2 2 2 2

www.ks5u.com 剖析:上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾 股定理。上述证明中用了“ sin A ? cos A ? 1 ”这个公式,按照现行中学教材系统,这个

2 2

公式是由勾股定理推出来的, 这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据, 犯了循环论 证的错误。 4. 不能推出

( 例 4 设 ?、?、? ? 0, ),且 tan ? ? 2

?

1 1 1 , ?? , ? ? 。 tan tan 2 5 8

1

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求证: ? ? ? ? ? ?

?

4

证明:因为 tan( ? ? ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? ? tan? ? tan? tan ? tan? 1 ? tan? tan ? ? tan? tan? ? tan ? tan?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 5 8 2 5 8 ? 1, = 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? 2 5 5 8 5 8 ? ?? ? ? ? ? ? 。 4

? 剖析:上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为 tan( ? ? ? ? ) ? 1 只能推

出 ? ? ? ? ? ? n? ?

?

4

, (n ? Z ) 。 至于关系式 ? ? ? ? ? ?

?

4

是否唯一地成立, 却无法断定。

因此,只有进一步推出 0 ? ? , ? , ? ?

?

4

,即 0 ? ? ? ? ? ? ?

3? ,原题才能得证。 4

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演绎推理的三种类型

“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质;其实,我们学习 的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论。显然,只要一般 性原理正确,推理形式不出错误,那么由此产生的结论一定正确;这也正是我们证明数学结 论、建立数学体系的重要的思维过程;具体到一个数学问题,我们使用演绎推理时,常常表 现为下述三种情况,这里向你介绍,也许对你深入理解演绎推理会有所帮助。 1、显性三段论 在证明过程中,可以较清楚的看出“大前提”“小前提”“结论” 、 、 ;结合演绎推理我们 可以知道结果是正确的。也是演绎推理最为简单的应用。 例 1、当 a, b 为正数时,求证:

a?b ? ab 2

证明:因为一个实数的平方是非负数 而

a?b a b 2 ? ab ? ( ? ) 是一个实数的平方, 2 2 2

2

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a?b a?b ? ab 是非负数,即 ? ab ? 0 2 2 a?b ? ab 所以, 2

所以 评析: 在这个问题的证明中, 三段论是很显然的; 大前提: “一个实数的平方是非负数” , 小前提: “

a?b a?b ? ab 是一个实数的平方” ? ab 是非负数” ,结论: “ ,从而产生最 2 2

后结果;由于大前提是人所共知的真理,推理形式正确,因而,结论正确。 www.ks5u.com 2、隐性三段论 三段论在证明或推理过程中,不一定都是清晰的;特别是大前提,有一些是我们早已 熟悉的定理、性质、定义,对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用,不需 要再重新指出;因此,就会出现隐性三段论。 例 2、判断函数 f ( x ) ? 解:由于 x ? R 且

1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1

的奇偶性

1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1 2x f ( x) ? ? ? ?1 ? f (? x) ? ? f ( x) ? 2 2 f (? x) 1 ? x ? x ? 1 1 ? x ? x ? 1 ? 2x

故函数为奇函数 评析:在这个推理过程中,好似未用到演绎推理的三段论,其实不然,用了;只是大 前提 “若函数 f (x) 是奇函数, f ( x) ? ? f (? x) ; 则 若函数 f (x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 则 ”是大家熟悉的定义,在推理过程中省略了。这是演绎推理三段论的又一表现形式。 3、复式三段论 一个复杂问题的证明或推理,往往不是一次三段论就可以解决的,在证或推的过程中 要多次使用三段论,从一个熟悉的大前提出发,产生一个结论;而这个结论又是下一步的大 前提,依次递推下去,最终产生结论,这就是所谓的复式三段论。可以看出我们现在遇到的 证明或推理的过程,基本上都是复式三段论。 例 3、若数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ?

n(a1 ? a n ) ,求证:数列 ?an ? 为等差数列。 2

证明:由 an ? s n ? s n ?1 ? a n ?

n(a1 ? an ) (n ? 1)(a1 ? an?1 ) a ? a1 n ?1 ? ? n ? 2 2 an?1 ? a1 n ? 2

因此 an ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ?

a3 ? a1 a4 ? a1 a ? a1 2 3 n ?1 ? ??? n ? (a2 ? a1 ) ? ? ? ? a2 ? a1 a3 ? a1 an?1 ? a1 1 2 n?2

? an ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1 ) ? an ? an?1 ? a2 ? a1

故数列 ?an ? 为等差数列

3

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评析:本题的论证共有三层,即三次使用演绎推理,请看 第一层,大前提“若 sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则 an ? sn ? sn?1 ” ;小前提“数列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 sn ?

n(a1 ? a n ) n(a1 ? a n ) (n ? 1)(a1 ? a n ?1 ) ? , 则 an ? ” 结论 ; 2 2 2

an ? a1 n ?1 ” ; ? a n?1 ? a1 n ? 2

第二层,大前提“对于非零数列 ?an ? ,则有 a n ? a1 ? (

a a2 ;小前提“满 ) ??? ( n ) ” a1 an?1

an ? a1 a ? a1 a4 ? a1 a ? a1 n ?1 的数列 ?an ? 有 a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? 3 ” ; ? ? ??? n a n?1 ? a1 n ? 2 a2 ? a1 a3 ? a1 an?1 ? a1

结论“ an ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1 ) ” ; 第三层,大前提“对于数列 ?an ? ,若 an ? an?1 ? 常数,则 ?an ? 是等差数列” ;小前提 “由 an ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1 ) ,得 an ? an?1 ? a2 ? a1 为常数” ;结论“数列 ?an ? 为等差数 列” ;在这三层中,层层深入,步步逼近,慢慢的向我们要论证的结论靠拢,这是一种很重 要且很实用的分析思维过程。

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